\(a^{2006}+b^{2006}=a^{2004}+b^{2004}\)
\(\Rightarrow a^{2004}.\left(a^2-1\right)=b^{2004}.\left(1-b^2\right)\)
Vì a là số dương \(\Rightarrow a^2-1\ge0\)
\(\Rightarrow a^{2004}.\left(a^2-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b^{2004}.\left(1-b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b^2\le1\)
Ta lại có:
\(a^{2004}+b^{2004}=a^{2006}+b^{2006}\)
\(a^{2004}.\left(1-a^2\right)=b^{2004}.\left(b^2-1\right)\)
b là số nguyên dương \(\Rightarrow b^2-1\ge0\)
\(\Rightarrow b^{2004}.\left(b^2-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^{2004}.\left(1-a^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^2\le1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le1+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{32}\le\frac{2}{32}=2^{-4}\)
\(2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{2}{2^5}=\frac{2}{32}\)
Ta có:
\(a^{2006}+b^{2006}=a^{2004}+b^{2004}\)
\(\Rightarrow a^2.a^{2004}-a^{2004}+b^2.b^{2004}-b^{2004}=0\)
\(\left(a+1\right)\left(a-1\right)a^{2004}+\left(b+1\right)\left(b-1\right)b^{2004}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-1\right)a^{2004}\) và \(\left(b+1\right)\left(b-1\right)b^{2004}\) là 2 đối nhau
Vì a,b là số nguyên dương nên \(a+1;a-1;b-1;b-1\ge0\)
Thế thì chỉ có thể mấy số này bằng 0 hoặc 1
Tất nhiên \(a^2+b^2\le1+1=2\)
chỉ làm đc thế này: a2006+b2006=a2004+b2004
<=>a2006-a2004=b2004-b2006
<=>a2004(a2-1)=b2004(1-b2)
còn lại thì...???