Question

Cho biểu thức \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\). Tìm GTNN của biểu thức trên với x, y, z > 0 và \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=2\)

Answer 1

GTNN là 1 bạn ak

Answer 2

1 nha tui ko chắc chắn đâu

tui mới lớp 5 mà

Answer 3

ap dung BDT Bunhiacopxki ta co: ( a+b+c).(X^2/a+Y^2/b+Z^2/c) >= (X+Y+Z)^2 => X^2/a+Y^2/b+Z^2/c >= (X+Y+Z)^2/(a+b+c) (*)                   ap dung BDT (*) ta co: A= x^2/(x+y)+y^2/(y+z)+z^2/(z+x) >= (x+y+z)^2/2(x+y+z) = (x+y+z)/2                                                                     mat #: ap dung BDT Co Si ta co: x+y >= 2can(xy) c/m tuong tu => x+y+z >= can(xy)+can(yz)+can(zx) = 2 => A >= 2/2 = 1

Answer 4

ta có 

(X^2)/(X+Y)+(Y^2)/(Y+Z)+(Z^2)/(Z+X)>= (X+Y+Z)/2

mà X+Y+Z >=căn(XY)+căn(YZ)+căn(ZX)=2

Answer 5

Xét : \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)=> \(\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{3x-y}{4}\)

Tương tự : \(\frac{y^2}{y+z}\ge\frac{3y-z}{4}\) ; \(\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{3z-x}{4}\)

Cộng các BĐT trên theo vế được : \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Mặt khác : \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=2\)

=> Min \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=1\) <=> x = y = z = 2/3