Question

Cho biết với mỗi u ≥ 0 phương trình t 3 + u t - 8 = 0 có nghiệm dương duy nhất f(u). Hãy tính ∫ 0 7 f 2 u d u

A.  31 2

B.  33 2

C.  35 2

D.  37 2

Answer 1

Xét hàm số  h t = t 3 + u t - 8

Ta có h ' t = 3 t 2 + u > 0  với mọi t > 0. Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng  0 ; + ∞

Mặt khác h 0 = - 8 ; h 2 = 2 u > 0  nên tồn tại duy nhất c ∈ 0 ; 2   suy cho h(c) = 0

Với mỗi 0 < x ≤ 2  ta có  u x = 8 - x 3 x ≥ 0 . Suy ra x 3 + u x . x - 8 = 0 . Do đó x là nghiệm dương của phương trình t 3 + u x . t - 8 = 0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra  f u x = x

Ta có  u ' x = - 8 x 2 - 2 x

Khi x = 2 thì u = 0 và khi x = 1 thì u = 7. Áp dụng công thức đổi biến ta có

∫ 0 7 f 2 u d u = - ∫ 0 1 f 2 u x d x = ∫ 0 2 8 + 2 x 3 d x = 31 2

Đáp án A