Đây là một bài toán tương đối khó. Đầu tiên, chúng ta cần để ý đến những biến đổi sau đây:
1 x - 1 + 2 x - 2 + . . + 70 x - 70 - 5 4 = ∑ k = 1 70 k x - k - 5 4 = ∑ k ∏ x - j j ≠ k ∏ x - j - 5 4 = 4 ∑ k ∏ x - j - 5 ∏ x - j j ≠ k 4 ∏ x - j = f x g x
với k;j = 1,70
Rõ ràng g(x) = 0 có 70 nghiệm x ∈ 1 ; 2 ; . . ; 70
Vậy f liên tục trên R , f k , f k + 1 < 0 với k = 1 , 69 và lim x → + ∞ f x < 0 ; f 70 > 0 nên cũng có đủ 70 nghiệm xen kẽ là 1 < x 1 < 2 < x 2 < .. < x 69
Tổng độ dài các khoảng nghiệm của bất phương trình f x g x ≥ 0 là
L = x 1 - 1 + x 2 - 2 + . . + x 70 - 70 = x 1 + x 2 + . . + x 70 - 1 + 2 + . . + 70
Để ý đa thức f có bậc 70, hệ số cao nhất là -5 và hệ số của x 69 là: 9(1 + 2 + ..+ 70 )
Do đó
L = - 9 1 + 2 + . . + 70 - 5 - 1 + 2 + . . + 70 = 1988
Đáp án D