Question

Cho ba số x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2>0. Chứng minh rằng: x2+19y2+6z2-8xy-4xz+12yz>0

Answer 1

Lời giải:

$x^2+19y^2+6z^2-8xy-4xz+12yz=(x^2+4z^2-4xz)+19y^2+2z^2-8xy+12yz$

$=(x-2z)^2-8y(x-2z)+(4y)^2+3y^2+2z^2-4yz$

$=(x-2z-4y)^2+2(y^2+z^2-2yz)+y^2$

$=(x-2z-4y)^2+2(y-z)^2+y^2\geq 0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{R}$
Dấu "=" xảy ra khi $x-2z-4y=y-z=y=0$

$\Leftrightarrow x=y=z=0$

Mà $x^2+y^2+z^2>0$ nên điều trên vô lý. Do đó dấu "=" không xảy ra. Hay $x^2+19y^2+6z^2-8xy-4xz+12yz>0$ (đpcm)