Từ \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2b^2c^2\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1\)
bài này tui làm rồi ở đây
Lâu lâu mới có một câu hỏi của thầy ai trả lời được thầy sẽ tặng bạn ấy 2GP ( và một phần quà nhỏ nữa )
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
\(\dfrac{b^2c}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{c^2a}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+2c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+2a^2}\ge1\)
Cho a,b,c >0 và a2+b2+c2=3. CMR:
\(\dfrac{1}{1+a^2b^2}+\dfrac{1}{1+b^2c^2}+\dfrac{1}{1+c^2a^2}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Cmr \(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge1\)
2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\). Cmr: \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
3.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=3\). Cmr:\(\sqrt{\dfrac{a^2}{b+b^2+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{c+c^2+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{a+a^2+b}}\le3\)
Chứng minh rằng với a,b,c dương ta có:
\(\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)abc\)
Chứng minh các BĐT sau:
a. \(9\left(\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{2}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a}\right)\le\dfrac{7}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{c}\)
b. \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{18}{3b+4c}+\dfrac{9}{c+6a}\)
c. \(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{2a+c}{b}+\dfrac{4\left(a+b\right)}{a+c}\ge9\)
Cho các số thực dương a,b. Chứng minh rằng:
a/ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{9ab}{a^2+b^2}\ge\dfrac{13}{2}\)
b/ \(\dfrac{a}{3b}+\dfrac{b\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge1\)
c/ \(\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{ab}{2\left(a^3+2b^3\right)}\ge\dfrac{5}{3}\)
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^4}{b^3\left(c+2a\right)}+\dfrac{b^4}{c^3\left(a+2b\right)}+\dfrac{c^4}{a^3\left(b+2c\right)}\ge1\)
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
1.
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\)+ \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}\)+ \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\) ≥ 1
2.
\(\dfrac{a}{b+2c+3d}\)+\(\dfrac{b}{c+2d+3a}\)+\(\dfrac{c}{d+2a+3b}\)+ \(\dfrac{d}{a+2b+3c}\) ≥ \(\dfrac{2}{3}\)
3.
\(\dfrac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\) + \(\dfrac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\) + \(\dfrac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}\) + \(\dfrac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\) ≥ \(\dfrac{a+b+c+d}{4}\)
Bất đẳng thức BuNyaKovSky ( BCS )