Question

Cho ba số dương a,b,c thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\) . Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)

Answer 1

Mình làm xin bạn xem kĩ :

giả sử đã cm xong ta có : 

thay a² +b² +c² = 1 vào vế trái bđt trên, ta có :

\(1+\frac{c^2}{a^2+b^2}+1+\frac{a^2}{b^2+c^2}+1+\frac{b^2}{a^2+c^2}\le\left(vế\right)phải\) ( khi thế vào có các tử bằng mẫu )

<=> \(\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}\le\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}\) (1)

Vậy ta chỉ cần cm điều trên đúng thì xong 

Bạn để ý với a,b,c là số dương thì :

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ac\)

=> \(\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2ab}\)

=> \(\frac{c^2}{a^2+b^2}\le\frac{c^2}{2ab}\)

Tương tự với các bđt còn lại. Sau đó cộng các vế lại ta sẽ được bđt (1) => (1) đúng => đpcm