Question

Cho \(a+b\ge2\) . Chứng minh bất đẳng thức \(a^3+b^3\ge a^2+b^2\)

Answer 1

\(a+b\ge2\Rightarrow a+b-2\ge0\)

Ta có \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)-\left(a-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2-1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b+1\right)+a+b-2\ge0\) luôn đúng với a,b không âm và \(a+b\ge2\)

Từ đó có điều phải chứng minh.