Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6
\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$
Ta có $\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\frac{16}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b\leq 4$ là suy ra $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq \frac{16}{4+4}=2$
Bất đẳng thức đã cho tương đương $ab.bc+bc.cd+cd.da+da.ab\leq 4$ với $a+b+c+d=4$
Chuyển $\left ( ab,bc,cd,da \right )\Rightarrow (x,y,z,t)$
Ta có $x+y+z+t=ab+bc+cd+ad \leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$
Lại có $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=xy+yz+zt+tx \leq \frac{(x+y+z+t)^2}{4} \leq \frac{4^2}{4}=4$
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d=1$
doc lam sao
Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=4
Chúng minh rằng \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=4
Chúng minh rằng \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
cho a,b,c,d tm a^2+b^2=1 va a^4/c+b^4/d=1/c+d. cm a^2/c+d/b^2>=2
Cho 4 số dương a,b,c,d .
Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các bđt sau :
1. a+b<c+d
2. (a+b)(c+d) < ab+cd
3. (a+b)cd < (c+d)ab
Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+da}\ge\frac{4}{ac+bd}\)
Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}\)
Bài 2:Cho \(a>0,b>0,c>0\).\(CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
b) Chứng minh rằng\(\Sigma\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
cho 4 số thực a,b,c,d tm a+b+c+d=4
cmr \(\frac{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{\left(b+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{\left(d+\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{d^2-ad+a^2}}\le16\)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.M trên đường tròn (O). điểm D trên đoạn thẳng AM.BD cắt đường tròn (O) tại K( khác B).AK cắt BM tại C. CD cắt AB tại Q cmr:
1)CD⊥AB
2) \(AK^2+AM^2+BK^2+BM^2=8R^2\)
3) a) 4 điểm K,C,M,D cùng thuộc 1 đường tròn b) 4 điểm A,K,D,Q cùng thuộc 1đường tròn c)4 điểm B,Q,M,D cùng thuộc 1 đường tròn d) 4 điểm Q,C,M,A cùng thuộc 1 đường tròn ( TRÌNH BÀY + VẼ HÌNH )
