Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(A^2=\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^1+1^2+1^1\right)\left(a+a+b+b+c+c+\right)=6\left(a+b+c\right)=6\)
Do đó \(A\le\sqrt{6}\)
Ta có:\(A=\sqrt{6}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy Amax=\(\sqrt{6}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho a,b >0 và a+b+c = 1
Tìm GTLN của S=\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mẵn abc=a+b+c . Tính GTLN : S=a/sqrt(bc*(1+a^2) +b/sqrt(ca*(1+b^2)) + c/sqrt(ab(1+c^2))
Cho a,b,c>0;a+b+c=1. Tìm GTLN \(S=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\)
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{cases}}\).Tìm GTLN của S=\(\sqrt{a+b}\)+\(\sqrt{b+c}\)+\(\sqrt{a+c}\)
Cho a,b,c > 0 thỏa a+b+c=abc. Tìm GTLN của BT :
\(\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ac\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Cho a,b,c>0 thoa man a+b+c=3. Tìm GTLN cua \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}\)
Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Tìm GTLN của
P=\(\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm GTLN của \(Q=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)