Question

Cho a,b,c>0 và tỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng \(2\left(a+b+c\right)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Answer 1

Do \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a;b;c< \sqrt{3}\)

Với a;b;c thuộc khoảng đã cho, ta luôn có: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\Leftrightarrow-a^3+4a^2-5a+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(0< a< \sqrt{3}\) )

Tương tự ta có: \(2b+\frac{1}{b}\ge\frac{b^2+5}{2}\) ; \(2c+\frac{1}{c}\ge\frac{c^2+5}{2}\)

Cộng vế với vế: \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2+15}{2}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)