Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(a+b+c\le1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
CMR: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) (với a,b,c > 0)
Cho a,b,c >0. CMR
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Cho a, b, c, d > 0. CMR:
Nếu \(\dfrac{a}{b}< 1\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)
Áp dụng, chứng minh BĐT sau:
a) \(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)
b) \(1< \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\)
c) \(2< \dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac{c+d}{c+d+a}+\dfrac{d+a}{d+a+b}< 3\)
CMR với a, b, c > 0 thì \(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)
choa,b,c là các số thực dương
CMR:\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}-\dfrac{a+b+c}{2abc}\le0\)
Không dùng các BĐT cơ bản
a) Cho a,b,c > 0 ; abc = 1 ; \(a+b+c\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
CMR : (a-1)(b-1)(c-1) \(\ge0\)
b) Trong 3 số a,b,c có 1 số lớn hơn 1 , 2 số còn lại nhỏ hơn 1
B1:C/m
a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)\(>=ab\)
b)(a+b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)>=4\) (với a>0,b>0)
c)\(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
Cho a > b > c > 0 và a2 + b2 + c2 =1
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:
ab+bc+ca=3
CMR:\(\dfrac{a}{2ab^2}+\dfrac{b}{2b^2+ac}+\dfrac{c}{2cb^2+ab}>abc\)