Question

cho a+b+c=0. CM: a^4 +b^4 +c^4 = (a² + b² + c²)² :2

Answer 1

a + b + c = 0
<=> (a + b + c)² = 0
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1)

CẦn chứng minh:

2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)²

<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²)

<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²)

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) )

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1))

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²)

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0

<=> 8abc.(a + b + c) = 0

<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0

=> Đpcm