Question

cho a,b,c>0. C/M : a, \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

                            b, \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

\(b.\)  Áp dụng bất đẳng thức  Bunyakovsky cho bộ ba số thực dương \(a,b,c\), ta được:

\(\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(VT.2\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(VT\ge\frac{a+b+c}{2}=VP\)

Vậy,  \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\)  với  \(a,b,c>0\)

Dấu  \(''=''\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

Answer 2

Áp dụng BĐT schwarz là ra ngay mà bạn!

Answer 3

\(a.\)  Áp dụng bất đẳng thức  Bunyakovsky cho bộ ba số thực dương \(a,b,c\), ta được:

\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\left(b+c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(VT.\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(VT\ge a+b+c=VP\)

Vậy,  \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)  với  \(a,b,c>0\)

Dấu  \(''=''\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)