Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
1. Cho a, b, c>0. Chm: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
2. Cho a, b, c, d>0. Chmr: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
Bài 1: Cho a,b,c \(\ge\)0. CMR: \(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge6\)
Bài 2: Cho a,b,c \(\ge\)0. CMR: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a;b;c .0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Cho a,b,c>0. Chứng minh:
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
LD
7 tháng 7 2019 lúc 16:55
Cho a,b,c > 0. cmr:
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
BL
5 tháng 12 2019 lúc 21:08
cm các bđt : a) frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+frac{c}{c+a}gefrac{3}{2} với age bge c0
b) frac{a+b}{a^2+b^2}+frac{b+c}{b^2+c^2}+frac{c+a}{c^2+a^2}le3 với left{{}begin{matrix}a,b,c0a+b+cab+bc+caend{matrix}right.
c) a+b^2+c^2gefrac{1}{a}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2} với ale b;ale c;abc1
Đọc tiếp
cm các bđt : a) \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\) với \(a\ge b\ge c>0\)
b) \(\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^2}\le3\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=ab+bc+ca\end{matrix}\right.\)
c) \(a+b^2+c^2\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) với \(a\le b;a\le c;abc=1\)
(4)Bài 1:Với forall ab0. CMR: a+ frac{1}{bleft(a-bright)}ge3
(7) Bài 2: Cho a,b,c ne 0 .CMR: frac{a^2}{b^2}+frac{b^2}{c^2}+frac{c^2}{a^2}gefrac{b}{a}+frac{c}{b}+frac{a}{c}
(8) Bài 3: Cho a,b,c0 thõa mãn abc1
CMR: frac{b+c}{sqrt{a}}+frac{c+a}{sqrt{b}}+frac{a+b}{sqrt{c}}gesqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}+3
Đọc tiếp
(4)Bài 1:Với \(\forall\) a>b>0. CMR: a+ \(\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
(7) Bài 2: Cho a,b,c \(\ne\) 0 .CMR: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
(8) Bài 3: Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1
CMR: \(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho a, b, c>0 và a+b+c=abc. CMR: \(\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}+3\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\sqrt{3}\)