Vì \(a,b,c\in\left[0,1\right]\) nên \(a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\). Do đó nếu đặt \(t=a^2+b^2+c^2\) thì ta có
\(\left(1+a+b+c\right)^2\ge\left(1+a^2+b^2+c^2\right)^2=\left(1+t\right)^2=\left(1-t\right)^2+4t\ge4t=4\left(a^2+b^2+c^2\right).\) (ĐPCM).
cho a,b,c là các số thực . CMR
\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
Cho a khác b khác c và a,b,c >0 thỏa \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=1\) \(CMR\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}\ge4\)
cho a,b,c>0
CMR:
\(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)\)
cho a,b,c>0 . CMR :
\(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)\)
cho a,b,c>0
CMR:
1) \(a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\)
2) \(\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\right)\)
(Nghi binh 28/09)
Đang có hứng:
Bài 1: CMR \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\forall a,b,c\ge0\)
Bài 2: CMR \(\frac{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\left(a+b+c\right)\)\(\forall a,b,c\ge0\)
Bài 1 thì dễ rồi, bài 2 mình mới tìm được.
cho a,b,c là các số thực, không âm đôi 1 khác nhau.CMR
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\right)\ge4\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}}\ge4+\frac{8}{\sqrt{3}}\)
Cộng tác viên giúp với !
cho a,b,c thuộc (0;1). CMR
\(\sqrt{abc}+\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)<1