Đặt \(x=a+b;y=b+c,z=c+a\)
\(\Rightarrow x+y+z=2\)
Ta cần chứng minh:\(x+z\ge4xyz\)
Ta có:\(4\left(x+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\left(x+z\right)\ge4y\left(x+z\right)\left(x+z\right)\)
\(=4y\left(x+z\right)^2\ge4y.4xz=16xyz\)
\(\Rightarrow\)\(x+z\ge4xyz\)
Hoàn tất chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi \(x=z=\frac{1}{2};y=1\) thế vào tìm a,b,c
cho a,b,c là số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 CMR rằng 2a+b+c>=4(a+b)(b+c)(c+a)
cho a,b,c là 3 số thực không âm thỏa mãn a+b+c= căn a + căn b +căn c=2 chứng minh rằng : căn a/(1+a) + căn b/(1+b) + căn c /( 1+ c ) = 2/ căn (1+a)(1+b)(1+c)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a) > 8
cho ba số thực a,b,c dương thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng a/(2b+a) + b/(2c+b) +c/(2a+c)>=1
cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3. Chứng minh rằng \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{2}\)
Cho 3 số thực không âm a , b ,c thỏa mãn đk a + b + c = 1 .Chứng minh rằng : ab + bc + ca \(\ge\)12 ( a3 + b3 + c3 ) (a2b2 + b2c2 + c2a2 )
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: \(a+b+c=3\) . Chứng minh:
\(\left(a-1\right)^3+\left(b-1\right)^3+\left(c-1\right)^3\ge-\frac{3}{4}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:\(a+b+c+abc=4\)
Chứng minh rằng:\(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh rằng: \(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\ge\)\(2\)