Giả sử ta có:
\(\left(a+b-c\right)^2\ge a^2+b^2-c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge a^2+b^2-c^2\)
\(\Leftrightarrow2c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow c^2+ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)-\left(bc-c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Tương tự ta cũng có:
\(\left(b+c-a\right)^2\ge b^2+c^2-a^2\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-a\right)\ge0\)
\(\left(c+a-b\right)^2\ge c^2+a^2-b^2\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
Do đó:
\(\left(a+b-c\right)^2.\left(b+c-a\right)^2.\left(c+a-b\right)^2\ge\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-c\right)\left(b-c\right)\right]\left[\left(b-a\right)\left(c-a\right)\right]\left[\left(c-b\right)\left(a-b\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\) (đúng)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có: điều phải chứng minh