Question

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn 2ab + 6bc + 2ac = 7abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = \(\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)

Answer 1

\(P=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\(P\) ≥ \(\frac{49}{\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{\frac{2ab+6bc+2ac}{abc}}=7\)

Do đó \(MinP:=7.\) Đẳng thức xảy ra khi

{\(\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}=\frac{2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)

\(2ab+6bc+2ac=7abc\)

Dễ thấy rằng \(\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\) thỏa hệ trên.