Câu hỏi của Ngô Tấn Đạt

Question

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa : a+b+c=3 . CMR : $\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}$

Thanh Tùng DZ · Accepted Answer

BĐT cần chứng minh tương đương với :$\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}$Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :$VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}$$\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}$$\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0$( luôn đúng )nguồn  : loga Câu trả lời: BĐT cần chứng minh tương đương với :$\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}$Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :$VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}$$\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}$$\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0$( luôn đúng )nguồn  : loga

Kiệt Nguyễn · Answer

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow3-\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{2}{a^2+b^2+2}\right)\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}$(*)Xét vế trái của (*), ta có: $\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}$(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)Đến đây, ta cần chỉ ra rằng $\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\Sigma\text{​​}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow2\text{​​}\text{​​}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)+9$$\Leftrightarrow\text{​​}\text{​​}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}$(**)Theo BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số $\left(a;b\right)$và $\left(c;b\right)$, ta có:$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+b^2\right)\ge\left(ac+b^2\right)^2$ $\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2$(1)Tương tự, ta có: $\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge ab+c^2$(2); $\sqrt{\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge bc+a^2$(3)Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: $\text{​​}\text{​​}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$$=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca$$=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}$(Do đó (**) đúng)Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.Câu trả lời: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow3-\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{2}{a^2+b^2+2}\right)\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}$(*)Xét vế trái của (*), ta có: $\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}$(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)Đến đây, ta cần chỉ ra rằng $\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\Sigma\text{​​}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow2\text{​​}\text{​​}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)+9$$\Leftrightarrow\text{​​}\text{​​}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}$(**)Theo BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số $\left(a;b\right)$và $\left(c;b\right)$, ta có:$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+b^2\right)\ge\left(ac+b^2\right)^2$ $\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2$(1)Tương tự, ta có: $\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge ab+c^2$(2); $\sqrt{\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge bc+a^2$(3)Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: $\text{​​}\text{​​}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$$=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca$$=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}$(Do đó (**) đúng)Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

tth_new · Answer

Với $s=\frac{\left(b+c\right)}{2},t=\frac{\left(b-c\right)}{2}$Bài này giả sử a = max {a,b,c} thì $a\ge s$Bất đẳng thức tương đương với: $\frac{f\left(a,s+t,s-t\right)}{\left(a^2+b^2+2\right)\left(b^2+c^2+2\right)\left(c^2+a^2+2\right)}\ge0$Ta có:(Vô TKHĐ xem ảnh Latex nhá)Câu trả lời: Với $s=\frac{\left(b+c\right)}{2},t=\frac{\left(b-c\right)}{2}$Bài này giả sử a = max {a,b,c} thì $a\ge s$Bất đẳng thức tương đương với: $\frac{f\left(a,s+t,s-t\right)}{\left(a^2+b^2+2\right)\left(b^2+c^2+2\right)\left(c^2+a^2+2\right)}\ge0$Ta có:(Vô TKHĐ xem ảnh Latex nhá)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)