Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+a-2\sqrt{ac}+c+b-2\sqrt{bc}+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)