Áp dụng AM - GM
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow P\ge9\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Phá ngoặc ra ông giáo ạ:3
\(P=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)
\(\ge3+3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\) ( hồn nhiên cô si )
\(\ge3+3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=9\) ( hồn nhiên cô si tiếp )
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c
Ta có
\(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với mọi x,y dương \(\Rightarrow\frac{P}{3+2+2+2}=9\)
Vậy Pmin=9 khi và chỉ khi a=b=c
Lời giải
Ta có:
\(P=\frac{bc\left(b+c-2a\right)^2+a\left(a+b+c\right)\left(b-c\right)^2}{abc\left(b+c\right)}+9\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Đây là S*O*S dao lam của t:))