Violympic toán 9

DT

cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh a/b^3 + ab + b/c^3 + bc + c/a^3 +ac >= 3/2

TP
8 tháng 9 2019 lúc 6:40

Biến đổi :

\(VT=\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}=\frac{a}{b\left(a+b^2\right)}+\frac{b}{c\left(b+c^2\right)}+\frac{c}{a\left(c+a^2\right)}\)

\(=\frac{1}{b}\cdot\frac{a}{a+b^2}+\frac{1}{c}\cdot\frac{b}{b+c^2}+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{c+a^2}\)

\(=\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b^2}{a+b^2}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c^2}{b+c^2}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a^2}{c+a^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(VT\ge\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b^2}{2b\sqrt{a}}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c^2}{2c\sqrt{b}}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a^2}{2a\sqrt{c}}\right)\)

\(=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2\sqrt{c}}\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

Áp dụng BĐT quen thuộc : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và BĐT Cô-si ta có:

\(VT\ge\frac{9}{a+b+c}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{1}{a}+1}{2}+\frac{\frac{1}{b}+1}{2}+\frac{\frac{1}{c}+1}{2}\right)\)

\(=\frac{9}{3}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}{2}\right)\ge3-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{9}{a+b+c}+3}{2}\right)\)

\(=3-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{9}{3}+3}{2}\right)=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
BB
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
ST
Xem chi tiết
CL
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
VQ
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết