Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6

HP

Cho a;b;c \(\ge0\).CMR \(\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^3}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^3}{a\left(a+b\right)}\)\(\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

PQ
6 tháng 8 2019 lúc 11:06

\(\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}+\frac{b}{2}+\frac{b+c}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}.\frac{b}{2}.\frac{b+c}{4}}=\frac{3}{2}a\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{4}\left(b+c\right)=\frac{3}{2}a-\frac{3}{4}b-\frac{1}{4}c\)

Tương tự, ta có: \(\frac{b^3}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}b-\frac{3}{4}c-\frac{1}{4}a;\frac{c^3}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}c-\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}b\)

Cộng theo vế 3 bđt ta được đpcm 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
HP
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
MA
Xem chi tiết
HD
Xem chi tiết
LH
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
PD
Xem chi tiết