1) TA có
\(\frac{a^2+a}{b+c}+\frac{b^2+b}{c+a}+\frac{c^2+c}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
(*) Xét BĐT : \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\) với x ; m ; y ; n > 0
( cái này xét hiệu là ok )
(*)ÁP dụng BĐT ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9}{2}\)
Dấu ''= '' xảy ra khi a = b= c = 3
(*) TA cần cm \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (1)
Đặt b + c = x ; c+a = y ; a+ b = z (x; y; z > 0 )
=> \(\frac{x+y+z}{2}=a+b+c\) => a = \(\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
(1) <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\) <=> \(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{z}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ge1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x = y= z <=> a = b =c = 3
Vậy BĐT đc cm
(*) Áp dụng BĐT \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\) với a ; b ;m ;n > 0
Xét BĐT
\(\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\) \(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\)(1)
( Vì\(a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\))
(*) CM BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) ( biến đổi tương dương )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9^2}{3}=27\)
BĐT đc CM đấu '' = ' ' xảy ra khi a = b =c = 3
bài 1 làm như ban thắng còn bài 2 có cách riêng để làm dạng này . bạn xét 1 biểu thức B= b^3/a^2+ab+b^2 công c^3/b^2+bc+c^2 cang a^3/ c^2 +ca +a^2 . đặt biểu thức ban đầu là A . lấy A - B ta thấy bằng 0 . rồi bạn lấy A +B . có a^2 - ab + b^2 / a^2 + ab +b^2 >= 1/3 ( dùng phép biến đổi tương đương là ra) . sau đó nhan cả 2 về a+b là ra . 2 cái còn lại tương tự nha