Làm:
-Có : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Co-si với hai số không âm a và (b+c) có:
-, a+b+c \(\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)
-. Làm tương tự với hai phân thức còn lại
Cộng vế với vế, ta có: VT \(\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
- Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a+b+c=2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow a+b+c=0\)
Mà a,b,c >0 nên dấu "=" không xảy ra \(\Rightarrow\text{đ}pcm\)
Kl: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\) (đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số dương là \(\sqrt{\frac{b+c}{a}}\) và 1, ta được:
\(\frac{\left(\frac{b+c}{a}+1\right)}{2}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}\cdot1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2a}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}\)
hay \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự, ta có:
\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2)
và \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\frac{b+c}{a}}=1\\\sqrt{\frac{a+c}{b}}=1\\\sqrt{\frac{a+b}{c}}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{b+c}{a}=1\\\frac{a+c}{b}=1\\\frac{a+b}{c}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=a\\a+c=b\\a+b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)(loại vì trái với điều kiện là ba số a,b,c đều dương)
Như vậy dấu '=' không xảy ra
hay \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)(đpcm)