\(P=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
\(\ge a-\frac{ab^2}{2b}+b-\frac{bc^2}{2c}+c-\frac{ca^2}{2c}\) (AM-GM)
\(\ge a-\frac{ab}{2}+b-\frac{bc}{2}+c-\frac{ac}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Vay MinP=3/2 dau = xay ra khi a=b=c=1
Cho \(a,b,c>0\)và \(ab+bc+ca=1\). Chứng minh \(M=\frac{1-a^2}{1+a^2}+\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{1}{8}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
Cho a, b, c > 0 và có tích bằng 1. CMR:
\(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c} \)\(+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{1}{a+2}\)\(+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
Cho \(a,b,c\in R\)thoả mãn \(a,c\ge0\), b > 0
và (a+c-3)b + 1 = 0
Tìm min M = \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+b}+\frac{b}{ac+3b}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn\(a+b+c\le\frac{3}{2}\). CMR \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
2.Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\) 1. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh \(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\ge1\)
Câu 1: Cho x, y>0 thỏa x+y=1
CMR: \(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{4}\)
Câu 2: Cho a,b,c,d >0 thỏa a+b+c+d=4
CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge2\)
Cho a, b, c > 0 tm \(a^2+b^2+c^2=3\) . CMR:
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge3\)
Cho a; b; c > 0 sao cho a+b+c=3. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{b^2\left(ca+1\right)}+\frac{b}{c^2\left(ab+1\right)}+\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}\ge\frac{9}{\left(1+abc\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
Cho \(0< a,b,c< 1\)và \(ab+bc+ac=1\). CMR:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{1-a^2}+\frac{b\left(a+c\right)}{1-b^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{1-c^2}\ge3\)
Mình cần gấp lắm, có ai giúp mình được không ạ