Ta có: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
cho a+b+c=\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\); a,b,c khác 0 chứng minh b.(a2-bc).(1-ac) = a.(1-bc).(b2-ac)
bài 1: Rút gọn:
a) A= \(sin^2x+sin^2x.cot^2x\)
b) B= \(\left(1-tan^2x\right).cot^2x+1-cot^2x\)
c) C= \(sin^2x.tanx+cos^2x.cotx+2sinx.cosx\)
d) D= \(\dfrac{1-cosx}{sin^2x}-\dfrac{1}{1+cosx}\)
e) E= \(cos^2\alpha.\left(sin^2\alpha+1\right)+sin^4\alpha\)
f) F= \(\dfrac{\sqrt{2}cos\alpha-2cos\left(\dfrac{\pi}{4}+2\right)}{-\sqrt{2}sin\alpha+2sin\left(\dfrac{\pi}{4}+2\right)}\)
g) G= \(\left(tana-tanb\right)cot\left(a-b\right)-tana.tanb\)
bài 2: cho các số dương a,b,c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(\dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\dfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}\)
bài 3: cho a,b,c dương sao cho \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3b^3}{c}+\dfrac{a^3c^3}{b}+\dfrac{b^3c^3}{a}\ge3abc\)
bài 4: cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức :
P= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-c\)
bài 5: Cho a,b>0, \(3b+b\le1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của P= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
Cho tam thức \(f \left(x\right)=2x^2-5x+m.\) Biết \(f\left(x\right)\ge0\) . Khẳng định nào là đúng ?
\(A,m>\dfrac{8}{9}\)
\(B,m\le\dfrac{25}{8}\)
\(C,m\ge\dfrac{25}{8}\)
\(D,m>\dfrac{25}{8}\)
Chứng minh rằng :
\(a+b+c\le\dfrac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
với a, b, c là những số dương tùy ý
Cho tam giác ABC, độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a,b,c. Gọi G là trọng tâm và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
a. \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
b. \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
Cho a+b+c=3 (a,b,c > 0) CMR: a2+b2+c2+abc\(\ge\)4
cho a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh \(\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1}\le\dfrac{1}{4}\)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=5\) và x - y + z = 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x+y-2}{z+2}\) bằng
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(0\) C. \(\dfrac{-36}{23}\) D. \(\dfrac{-13}{4}\)
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)
