Question

Cho a.b.c >0; a+b+c =3

Chứng minh: \(\frac{1}{2ab^2+1}+\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}\ge1\)

Answer 1

Ta áp dụng Bđt Cauchy ngược dấu

\(T=\frac{1}{2ab^2+1}+\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2ab^2+1}+\frac{b^2c}{2bc^2+1}+\frac{c^2a}{2ca^2+1}\le1\)

\(\frac{ab^2}{2ab^2+1}\le\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^2\cdot ab^2\cdot1}}\)\(\le\frac{\sqrt[3]{ab^2}}{3}\le\frac{a+2b}{9}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b^2c}{2bc^2+1}\le\frac{b+2c}{9}\left(2\right);\frac{c^2a}{2ca^2+1}\le\frac{c+2a}{9}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta có:

\(T\le\frac{a+b+c+2c+2a+2b}{9}\)\(=\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{a+b+c}{3}=1\)

Dấu = khi a=b=c=1

Answer 2

bài náy áp dụng bđt Cosi cũng được