Question

Cho ab+1 chia hết cho c và ac+1 chia hết cho b. Chứng minh rằng( b-c; bc)=1

Answer 1

Lời giải:
Giả sử $(b-c,bc)>1$. Khi đó gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $b-c$ và $bc$

Có:

$bc\vdots p\Rightarrow b\vdots p$ hoặc $c\vdots p$
Nếu $b\vdots p$ thì từ $b-c\vdots p\Rightarrow c\vdots p$
Nếu $c\vdots p$ thì từ $b-c\vdots p\Rightarrow b\vdots p$
Vậy $b$ và $c$ đều chia hết cho $p$.

Quay trở lại đkđb: 

$ab+1\vdots c\vdots p$

Mà $ab\vdots p$ (do $b\vdots p$)

$\Rightarrow 1\vdots p\Rightarrow p=1$ (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $(b-c,bc)=1$