Question

cho a,b>0.

c/m\(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)

Answer 1

\(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)

dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=1

áp dụng cô si cho VT ta có

\(\frac{1}{3a}+\frac{3a}{9}\ge2\sqrt{\frac{3a}{3a.9}}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{3b}+\frac{3b}{9}\ge2\sqrt{\frac{3b}{3b.9}}=\frac{2}{3}\)

+ vế với vế ta được

\(VT+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (1)

áp dụng cô si cho VP ta được

\(\frac{1}{2a+b}+\frac{\left(2a+b\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2a+b\right)}{\left(2a+b\right).9}}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{2b+a}+\frac{\left(2b+a\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2b+a\right)}{\left(2b+a\right).9}}=\frac{2}{3}\)

\(VP+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (2)

Từ 1 và 2 \(VT\ge VP...."="\rightarrow a=b=1\)