Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\)
Nếu \(a\ge b>\frac{1}{2}\Rightarrow a^2\ge b^2>\frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)(loại)
Nếu \(\frac{1}{2}>a\ge b\Rightarrow\frac{1}{4}>a^2\ge b^2\Rightarrow a^2+b^2< \frac{1}{2}\)(loại)
Vậy chỉ còn trường hợp: \(a\ge\frac{1}{2}\ge b\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{1}{2}\ge0\\b-\frac{1}{2}\le0\end{cases}}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(b-\frac{1}{2}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab-\frac{a+b}{2}+\frac{1}{4}\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2ab+\frac{1}{2}\)
Từ bài toán ta có
\(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{a+b}{ab}\)
\(\ge\frac{1}{1-2ab}+\frac{2ab+\frac{1}{2}}{ab}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{2ab}+2\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{1-2ab+2ab}+2=4+2=6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
a2+b2=\(\frac{1}{2}\)
xét a;b<\(\frac{1}{2}\)thì a2+b2<\(\frac{1}{2}\)
=>1 trong 2 số phải \(\ge\frac{1}{2}\)
giả sử a\(\le b\)=>\(\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(b-\frac{1}{2}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2ab+\frac{1}{2}\le a+b\)
mà \(a^2+b^2=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\ge2ab\Rightarrow1-2ab>0\)
\(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{a+b}{ab}\ge\frac{1}{1-2ab}+\frac{2ab+\frac{1}{2}}{ab}\)
\(=\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{2ab}+2\ge\frac{4}{1-2ab+2ab}+2=4+2=6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
de minh cho ban ket qua nhe do la 213/4
chị ơi viết hỗn số kiểu gì vậy ạ