Question

cho a,b là hai số tự nhiên. chứng minh (a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹) chia hết cho (a+b) với mọi số tự nhiên n

 

Answer 1

Với \(n=1\Leftrightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮\left(a+b\right)\)

Giả sử \(n=k\Leftrightarrow\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)⋮\left(a+b\right)\)

Với \(n=k+1\)

Cần cm: \(\left(a^{2k+3}+b^{2k+3}\right)⋮\left(a+b\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^{2k+3}+b^{2k+3}=a^{2k+1}\cdot a^2+b^{2k+1}\cdot b^2\\ =a^{2k+1}\cdot a^2+b^{2k+1}\cdot a^2-b^{2k+1}\cdot a^2+b^{2k+1}\cdot b^2\\ =a^2\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)-b^{2k+1}\left(a^2-b^2\right)\)

Do \(\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)⋮\left(a+b\right);\left(a^2-b^2\right)⋮\left(a-b\right)\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng

Theo pp quy nạp suy ra đpcm