Question

Cho a,b là các số tự nhiên. CMR nếu ab là số chẵn thì tìm được số nguyên c thỏa mãn a²+b²+c² là số chính phương

Answer 1

#)Giải :

Đặt \(A=a^2+b^2+c^2\)

Do tích a.b chẵn nên ta xét các trường hợp :

TH1 : Trong a và b có 1 số chẵn và 1 số lẻ 

Giả sử a là số chẵn, còn b là số lẻ 2

=> a² chia hết cho 4; b² chia 4 dư 1 => a² + b² chia 4 dư 1

=> a² + b² = 4m + 1 (m thuộc N)

Chon c = 2m => a² + b² + c² = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)² (thỏa mãn) (1)

TH2 : Cả a,b cùng chẵn 

=> a² + b² chia hết cho 4 => a² + b² = 4n (n thuộc N)

Chọn c = n - 1 => a² + b² + c² = n² + 2n + 1 = (n + 1)² (thỏa mãn) (2)

Từ (1) và (2) => Luôn tìm được số nguyên c thỏa mãn đề bài 

Answer 2

Do a, b là số chẵn nên ta xét 2 trường hợp:

TH₁: a chẵn, b lẻ => a² + b² = 4m + 1, khi đó chọn c có dạng 2m ta luôn có a² + b² + c² = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)² (ĐPCM)

TH₂ : a, b chẵn => a² + b² = 4n, khi đó chọn c có dạng n-1 ta luôn có a² + b² + c² = n² + 2n + 1 = (n+1)² (ĐPCM)