Question

Cho a,b là các số thực .Cmr: \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)\(\)

Answer 1

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

<=> \(2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

<=>\(\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

<=>\(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

do (a-b)²>=0, (a-1)²>=0,(b-1)²>=0=>BĐT được c/m

dấu ''=''m xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Answer 2

\(a^2+b^2+1=\frac{1}{2}\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)\right]\ge ab+a+b\)

Answer 3

mình nhầm một chút ở chỗ \(\left(a^2+2ab+b^2\right)thành\left(a^2-2ab+b^2\right)nhé\)

Answer 4

áp dụng bđt cosi ta có:

\(a^2+b^2>=2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

\(a^2+1>=2\sqrt{a^2}=2a\)

\(b^2+1>=2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Rightarrow2a^2+b^2+2>=2ab+2a+2b\Rightarrow a^2+b^2+1>=ab+a+b\)

dấu = xảy ra khi a=b=1

Answer 5

\(2a^2+2b^2+2>=2ab+2a+2b\)nhé