Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6

HN

Cho a,b là các số dương thỏa mãn \(a^3+b^3=a^5+b^5\)

Chứng minh rằng : \(a^2+b^2\le1+ab\)

AN
16 tháng 8 2016 lúc 19:30

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 
a^5 + a >= 2√(a^5.a); 
hay a^5 >= 2a^3 - a. 
Chứng minh tương tự, ta cũng có 
b^5 >= 2b^3 - b. 
Cộng hai bất đẳng thức theo vế ta được 
a^5 + b^5 >= 2a^3 + 2b^3 - a - b, 
hay a^3 + b^3 >= 2a^3 + 2b^3 - a - b, 
hay a^3 + b^3 <= a + b (*). 
Vì a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) nên bất đẳng thức (*) tương đương với 
(a + b)(a^2 - ab + b^2) <= a + b, 
hay a^2 - ab + b^2 <= 1, 
hay a^2 + b^2 <= ab + 1. 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
NM
Xem chi tiết
BA
Xem chi tiết
TK
Xem chi tiết
LQ
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
TK
Xem chi tiết
LD
Xem chi tiết
DQ
Xem chi tiết
NQ
Xem chi tiết