Question

Cho a,b là các số dương thay đổi thỏa mãn a+b=2.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(Q=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)

Các dz giúp e vs.......................

Answer 1

\(2=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\Rightarrow-ab\ge-1\)

\(Q=2\left(a^2+b^2\right)-\frac{6\left(a^2+b^2\right)}{ab}+\frac{9\left(a^2+b^2\right)}{a^2b^2}\)

\(Q=\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{9}{a^2b^2}-\frac{6}{ab}+2\right)\)

\(Q=\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{3}{a^2b^2}-\frac{6}{ab}+3+\frac{6}{a^2b^2}-1\right)\)

\(Q=3\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{1}{ab}-1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{6}{a^2b^2}-1\right)\)

\(Q\ge\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{6}{a^2b^2}-1\right)\ge2ab\left(\frac{6}{a^2b^2}-1\right)=\frac{12}{ab}-2ab\ge\frac{12}{1}-2=10\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Lưu ý: \(\frac{6}{a^2b^2}\ge6\Rightarrow\frac{6}{a^2b^2}-1>0\) nên dòng 6 vẫn Am-GM được bình thường