\(ab+a+b=\frac{5}{4}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
cho a,b ∈ R thỏa mãn \(\left(a+2\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{2}\)
Tìm GTNN của \(P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}\)
cho a,b,c > 0 Tìm GTNN của :
\(M=\left(1+a\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{b}}\right)^2\)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=4\)
Tìm GTNN của \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\)
1. Cho số thực x. CMR: \(x^4+5>x^2+4x\)
2. Cho số thực x, y thỏa mãn x>y. CMR: \(x^3-3x+4\ge y^3-3y\)
3. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2=2\). CMR: \(\left(a+b\right)^5\ge16ab\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=1\) và a + b > 2c. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{6\sqrt{5}}{25\left(a+b\right)}\)
cho a,b > 0 thỏa mãn \(a+b\ge4\) . Tìm GTNN của
\(\sqrt{9+a^2b^2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
cho a,b,c> 0 thỏa mãn a+b+c = abc. Tìm GTLN của
\(S=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(15\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=10\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2007\) .Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}\)
1. Cho a > b > 0 .Chứng minh rằng :
\(a,a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
\(b,a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
\(c,a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\)