Question

Cho \(a^3+b^3+c^3=3abc\) và a+b+c khác 0 .Tính giá trị của biểu thức:

\(N=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Trình bày chi tiết vì sao \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

Answer 1

ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

=>\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

=>\(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

=>\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc-3ab+c^2\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)2\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)=0\)

=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

=>a=b=c

N=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3a^2}{9a^2}=\dfrac{1}{3}\)