Question

Cho a³+b³+c³=3abc. Chứng minh a+b+c=0 hoặc a=b=c

Answer 1

Chứng minh điều ngược lại với điều phải chứng minh : Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 = 3abc ?

Thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có : 
a^3+b^3+c^3-3abc=0 
<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0 
<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0 
<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0 
<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)... 
<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0  luôn đúng do a+b+c=0

Vậy điều ngược lại cũng đúng => điều phải chứng minh