Question

cho a>0. so sánh \(\sqrt{a+1}\)+\(\sqrt{a+3}\) với \(2\sqrt{a+2}\)

Answer 1

Đặt \(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}\)

\(\Rightarrow A^2=2a+4+2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}\)

Đặt \(B=2\sqrt{a+2}\)

\(\Rightarrow B^2=4a+8\)

Xét hiệu \(B^2-A^2=2a+4-2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có \(2a+4=\left(a+1\right)+\left(a+3\right)\) \(>2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}\) 

 (Dấu "=" không thể xảy ra vì khi đó sẽ suy ra đẳng thức vô lí là \(1=3\))

 Từ đó suy ra \(B^2-A^2>0\) \(\Leftrightarrow B^2>A^2\), và do A, B dương nên suy ra \(B>A\). Nói cách khác, \(2\sqrt{a+2}>\sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}\)

 

Answer 2

sao em bấm máy tính thì dấu bằng $x$ảy ra khi $x$=10000000 vậy ạ.