Question

cho a và b là các sô thực dương. CMR

a³/(a²+b²)+b³/(b²+1)+1/(a²+1)>=(a+b+1)/2

Answer 1

nhận thấy nếu áp dụng bất đẳng thức như bình thường thì ta sẽ bị ngược dấu, do đó ta dùng kỹ thuật cauchy ngược dấu

ta có:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)=a-\(\dfrac{a.b^2}{a^2+b^2}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{a.b^2}{2ab}\)=a-\(\dfrac{b}{2}\)

\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)=b-\(\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\ge\)b-\(\dfrac{b}{2b}\)=b-\(\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{a^2+1}\)=1-\(\dfrac{a^2}{a^2 +1}\)\(\ge\)1-\(\dfrac{a^2}{2a}\)=1-\(\dfrac{a}{2}\)

cộng từng vế của bất đẳng thức lại với nhau ta được:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)+\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)+\(\dfrac{1}{a^2+1}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{b}{2}\)+b-\(\dfrac{1}{2}\)+1-\(\dfrac{a}{2}\)=\(\dfrac{a+b+1}{2}\)