Question

Cho a, b,c thuộc z thoa man a+b+c chia het cho 6

Chung minh (a+b)(b+c)(a+c)-2abc chia het cho6

 

Answer 1

Giải:

Đặt \(A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2abc\)

\(=\left(a+b+c-c\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2abc\)

\(= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c(b+c)(c+a) - 2abc \)

\(= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c(bc + ab + c² + ca + ab) \)

\(= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[c(b+c+a) + 3ab] \)

\(= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc \)

Vì \(\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow\left(a+b+c\right)⋮2\Rightarrow a+b+c\) là 1 số chẵn

\(\Rightarrow\) Trong 3 số \(a,b,c\) phải có ít nhất 1 số chẵn (vì 3 số lẻ \(\Rightarrow a+b+c\) lẻ)

\(\Rightarrow abc⋮2\Rightarrow3abc⋮6\Rightarrow A⋮6\rightarrow\) Đpcm