Question

Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a^2+b^2+c^2=2. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P=a+b+c - abc

Answer 1

\(2=a^2+b^2+c^2\ge b^2+c^2\ge2bc\Rightarrow bc\le1\)

Ta có:

\(P^2=\left(a+b+c-abc\right)^2=\left[a\left(1-bc\right)+\left(b+c\right).1\right]^2\)

\(P^2\le\left[a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left[\left(1-bc\right)^2+1\right]\)

\(P^2\le\left(a^2+b^2+c^2+2bc\right)\left(b^2c^2-2bc+2\right)\)

\(P^2\le\left(2+2bc\right)\left(b^2c^2-2bc+2\right)\)

\(P^2\le2\left[\left(bc\right)^3-\left(bc\right)^2+2\right]\le2.2=4\)

\(\Rightarrow-2\le P\le2\)

Min, max xảy ra với \(\left(a;b;c\right)=\left(0;-1;-1\right)\) và \(\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị