Question

cho a,b,c>0 thỏa mãn \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=3\left(3-a^2\right)\). tìm GTNN của biểu thức \(T=a+b+c+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

Answer 1

Ta có: \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=2b^2+2c^2+2bc\le2b^2+2c^2+b^2+c^2=3\left(b^2+c^2\right)\Rightarrow b^2+c^2\le3-a^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\).

Áp dụng bđt Schwars ta có:

\(T\ge a+b+c+\dfrac{18}{a+b+c}=\left(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{9}+\dfrac{9}{3}=9\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.