Question

Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh tam giác . CM : 

\(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

 

Answer 1

+) Chứng minh: \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Áp dụng B ĐT Bu nhia có: (a+ b)² \(\le\) 2(a² + b²) => \(a+b\le\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}\)

Tương tự ta có: \(b+c\le\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2};c+a\le\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\)

Cộng từng vế của B ĐT trên => \(2.\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}.\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

=> \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

+) Chứng minh \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}