Question

Cho a, b, c là các số thực dương đôi một khác nhau thỏa mãn:

\(\dfrac{\sqrt{ab}+1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{bc}+1}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ca}+1}{\sqrt{c}}\)

Chứng minh rằng abc = 1

Answer 1

Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành

Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

CMR: $xyz=1$

-----------------------------

Có:

$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)

Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$

$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)

Ta có đpcm.