Question

chờ a, b, c là các số dương thỏa mãn abc=1. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

\(A=\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\)

Answer 1

Lời giải:

Xét hiệu:

\(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0\forall a,b>0 \)

\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1=a^3+b^3+abc\geq ab(a+b)+abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1\geq ab(a+b+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)