Question

cho a b c là 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Answer 1

\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2< ab+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a< b+c\) (luôn đúng \(\forall\) a;b;c là 3 cạnh của \(\Delta\) )

Vậy \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Answer 2

Ta có:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2\left(b+c\right)}\)

Vì \(a< b+c\)(Bất đẳng thức tam giác)

nên \(a+b+c< 2\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2a}{2\left(b+c\right)}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Hay\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Answer 3

Theo BĐT tam giác ta có: b+c>a

Khi đó ta có:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{b+c+b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)(Vì b+c>a nên b+c+b+c>a+b+c)

\(\Rightarrow\)ĐPCM