Question

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương

1< a/ a+b+c +  b/ b+c+d+ c/c+d+a  +  d/ d+ a+b <2

Answer 1

Vì a, b, c, d đều là các số nguyên dương nên:

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d};\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d};\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d};\frac{d}{d+a+b}\)\(>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c};\frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d};\frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{a+c};\frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{d+b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+c}{a+c}+\frac{b+d}{b+d}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)